Die drei binomischen Formeln – Grundlagen
Formeln, Herleitung und praktische Rechentricks
Die drei binomischen Formeln sind fundamentale Identitäten der Algebra, die das Ausmultiplizieren quadratischer Ausdrücke vereinfachen. Sie gelten für alle reellen Zahlen a und b und sind in Schule, Studium und Beruf unverzichtbar. Die Formeln lauten: (1) (a + b)² = a² + 2ab + b², (2) (a − b)² = a² − 2ab + b² und (3) (a + b)(a − b) = a² − b².
Die Herleitung der ersten binomischen Formel erfolgt durch direktes Ausmultiplizieren: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Das „doppelte Produkt" 2ab entsteht, weil das gemischte Glied ab zweimal auftritt. Die zweite Formel (a − b)² = (a − b)(a − b) ergibt genauso a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Hier ist das doppelte Produkt negativ.
Die dritte binomische Formel wird als „Differenz der Quadrate" bezeichnet: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b². Die gemischten Terme heben sich auf. Diese Formel ist besonders nützlich für Kopfrechentricks: 49 × 51 = (50−1)(50+1) = 2500 − 1 = 2499. Oder 97 × 103 = (100−3)(100+3) = 10000 − 9 = 9991. Die Berechnung geht deutlich schneller als die herkömmliche schriftliche Multiplikation.
In der Analysis und Algebra dienen die binomischen Formeln zum Vereinfachen von Ausdrücken, beim quadratischen Ergänzen (Vervollständigung zu einem vollständigen Quadrat) und beim Lösen quadratischer Gleichungen. Die Erweiterung auf beliebige Potenzen führt zum Binomischen Lehrsatz(a + b)ⁿ, bei dem die Koeffizienten dem Pascal'schen Dreieck folgen. Für n = 3: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.