Binomische Formeln
Alle drei binomischen Formeln mit a und b sofort ausrechnen – mit Terme und Zwischenwerte
- Aktualisiert
Formel
(2 + 3)²
25
25(2 + 3)² ergibt 25.
So wurde gerechnet
Erste binomische Formel: Das Quadrat einer Summe ist a² plus das doppelte Produkt 2ab plus b².
- (a + b)²
- 25
- (a − b)²
- 1
- (a + b)(a − b)
- -5
RZ-26 · headon.pro
Term mit Variablen umformen
Klammer eingeben zum Ausmultiplizieren, Summe eingeben zum Faktorisieren. Hochzahl mit ^ oder ², Malpunkt kann entfallen.
(3x + 2y)^2 = 9x² + 12xy + 4y²
Ausmultipliziert mit der 1. binomischen Formel.
Die drei binomischen Formeln – Grundlagen
Formeln, Herleitung und praktische Rechentricks
Die drei binomischen Formeln sind fundamentale Identitäten der Algebra, die das Ausmultiplizieren quadratischer Ausdrücke vereinfachen. Sie gelten für alle reellen Zahlen a und b und sind in Schule, Studium und Beruf unverzichtbar. Die Formeln lauten: (1) (a + b)² = a² + 2ab + b², (2) (a − b)² = a² − 2ab + b² und (3) (a + b)(a − b) = a² − b².
Die Herleitung der ersten binomischen Formel erfolgt durch direktes Ausmultiplizieren: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Das „doppelte Produkt" 2ab entsteht, weil das gemischte Glied ab zweimal auftritt. Die zweite Formel (a − b)² = (a − b)(a − b) ergibt genauso a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Hier ist das doppelte Produkt negativ.
Die dritte binomische Formel wird als „Differenz der Quadrate" bezeichnet: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b². Die gemischten Terme heben sich auf. Diese Formel ist besonders nützlich für Kopfrechentricks: 49 × 51 = (50−1)(50+1) = 2500 − 1 = 2499. Oder 97 × 103 = (100−3)(100+3) = 10000 − 9 = 9991. Die Berechnung geht deutlich schneller als die herkömmliche schriftliche Multiplikation.
In der Analysis und Algebra dienen die binomischen Formeln zum Vereinfachen von Ausdrücken, beim quadratischen Ergänzen (Vervollständigung zu einem vollständigen Quadrat) und beim Lösen quadratischer Gleichungen. Die Erweiterung auf beliebige Potenzen führt zum Binomischen Lehrsatz (a + b)ⁿ, bei dem die Koeffizienten dem Pascal'schen Dreieck folgen. Für n = 3: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Rechenbeispiel: a=2, b=3
- a² + 2ab + b²
- 4 + 12 + 9
- Probe: (2+3)² = 5²
- 25
- Ergebnis
- 25
- a² − b²
- 4 − 9
- Probe: 5 × (−1)
- −5
- Ergebnis
- −5
Häufige Fragen zu den binomischen Formeln
Herleitung, Anwendung und Rechentricks
Was sind die drei binomischen Formeln?
1. Binomische Formel (Plus): (a + b)² = a² + 2ab + b². 2. Binomische Formel (Minus): (a − b)² = a² − 2ab + b². 3. Binomische Formel (Differenz der Quadrate): (a + b)(a − b) = a² − b². Diese drei Formeln ermöglichen das schnelle Ausmultiplizieren quadratischer Klammern ohne aufwendige Rechnung. Sie gelten für alle reellen Zahlen a und b.
Wie wende ich die erste binomische Formel an?
(a + b)² = a² + 2ab + b². Merkhilfe: Erstes quadriert, plus doppeltes Produkt, plus zweites quadriert. Beispiel: (3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49. Probe: 7² = 49 ✓. Typische Anwendungen: Quadratisches Ergänzen, Vereinfachen algebraischer Ausdrücke, Berechnen von Produkten wie 102² = (100+2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404.
Was bedeutet die dritte binomische Formel (Differenz der Quadrate)?
(a + b)(a − b) = a² − b². Diese Formel zeigt, dass das Produkt aus Summe und Differenz zweier Zahlen gleich der Differenz ihrer Quadrate ist. Beispiel: (7 + 3)(7 − 3) = 10 × 4 = 40, und 7² − 3² = 49 − 9 = 40 ✓. Praktisch zum schnellen Rechnen: 99 × 101 = (100−1)(100+1) = 100² − 1² = 10000 − 1 = 9999.
Was ist der Unterschied zwischen erster und zweiter binomischer Formel?
Der einzige Unterschied liegt im Vorzeichen des mittleren Terms: (a + b)² = a² + 2ab + b² (Plus) versus (a − b)² = a² − 2ab + b² (Minus). Bei der zweiten Formel ist das doppelte Produkt 2ab negativ. Beide Formeln haben denselben ersten (a²) und dritten Term (b²). Merkhilfe: Bei (a−b)² schlägt das Minuszeichen nur auf den mittleren Term 2ab durch, nicht auf b².
Wie hilft die binomische Formel beim Rechnen ohne Taschenrechner?
Die binomischen Formeln ermöglichen Kopfrechentricks: 21² = (20+1)² = 400 + 40 + 1 = 441. 49² = (50−1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401. 47 × 53 = (50−3)(50+3) = 2500 − 9 = 2491. Diese Techniken sind in Prüfungen und bei Abschätzungen nützlich, wenn kein Taschenrechner erlaubt ist. Unser Rechner überprüft Ihre Ergebnisse sofort.