Die Fakultät – Grundlagen und Anwendungen
Von der Definition bis zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Fakultät n! (gesprochen: „n Fakultät") ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Die Werte wachsen enorm schnell: 5! = 120, 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸ – das übertrifft die Anzahl der Sekunden seit dem Urknall. Kein Wunder, dass die Fakultät in der Kombinatorik so wichtig ist: Sie zählt Anordnungsmöglichkeiten (Permutationen) von n unterscheidbaren Objekten.
Das wichtigste Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Personen an einem Tisch anzuordnen? Die erste Person kann auf 5 Stühlen sitzen, die zweite auf 4 verbleibenden, usw. Das ergibt 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120. Dieselbe Logik gilt für Permutationen in der Statistik, Reihenfolgeoptimierung (Travelling Salesman Problem) und die Berechnung von Binomialkoeffizienten: (n über k) = n! / (k! × (n-k)!).
Der Sonderfall 0! = 1 ist per mathematischer Konvention definiert und folgt aus der Rekursionsformel n! = n × (n−1)!: Für n = 1 gilt 1! = 1 × 0! = 1, also muss 0! = 1 sein. Auch intuitiv ergibt es Sinn: Es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen – die leere Anordnung. Ohne diese Konvention würden Formeln wie der Binomialkoeffizient für k = 0 und k = n nicht funktionieren.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmt die Fakultät, wie viele Ergebnisse beim Ziehen ohne Zurücklegen möglich sind. Wenn 6 Lose aus 49 gezogen werden (Lotto), berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten mit dem Binomialkoeffizienten (49 über 6) = 49! / (6! × 43!) ≈ 13.983.816. Die riesigen Zahlen entstehen, weil Faktoren wie 49! astronomisch groß werden, sich aber im Bruch weitgehend kürzen. Unser Rechner berechnet Fakultäten iterativ, was für Zahlen bis 170 präzise IEEE-754-Ergebnisse liefert.