Fakultät-Rechner
0! bis 170! sofort berechnen – mit Permutations- und Kombinatorik-Erklärungen
- Aktualisiert
Ganze Zahl von 0 bis 170
5!
120
1205! (n Fakultät) ist 120.
- Anzahl der Stellen
- 3
So wurde gerechnet
n! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n. Es gibt an, auf wie viele Arten sich n Dinge anordnen lassen. Per Definition ist 0! = 1.
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Die Fakultät – Grundlagen und Anwendungen
Von der Definition bis zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Fakultät n! (gesprochen: „n Fakultät") ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Die Werte wachsen enorm schnell: 5! = 120, 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸ – das übertrifft die Anzahl der Sekunden seit dem Urknall. Kein Wunder, dass die Fakultät in der Kombinatorik so wichtig ist: Sie zählt Anordnungsmöglichkeiten (Permutationen) von n unterscheidbaren Objekten.
Das wichtigste Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Personen an einem Tisch anzuordnen? Die erste Person kann auf 5 Stühlen sitzen, die zweite auf 4 verbleibenden, usw. Das ergibt 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120. Dieselbe Logik gilt für Permutationen in der Statistik, Reihenfolgeoptimierung (Travelling Salesman Problem) und die Berechnung von Binomialkoeffizienten: (n über k) = n! / (k! × (n-k)!).
Der Sonderfall 0! = 1 ist per mathematischer Konvention definiert und folgt aus der Rekursionsformel n! = n × (n−1)!: Für n = 1 gilt 1! = 1 × 0! = 1, also muss 0! = 1 sein. Auch intuitiv ergibt es Sinn: Es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen – die leere Anordnung. Ohne diese Konvention würden Formeln wie der Binomialkoeffizient für k = 0 und k = n nicht funktionieren.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmt die Fakultät, wie viele Ergebnisse beim Ziehen ohne Zurücklegen möglich sind. Wenn 6 Lose aus 49 gezogen werden (Lotto), berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten mit dem Binomialkoeffizienten (49 über 6) = 49! / (6! × 43!) ≈ 13.983.816. Die riesigen Zahlen entstehen, weil Faktoren wie 49! astronomisch groß werden, sich aber im Bruch weitgehend kürzen. Unser Rechner berechnet Fakultäten iterativ mit exakter Ganzzahl-Arithmetik (BigInt) und liefert für alle Eingaben bis 170 zifferngenaue Ergebnisse.
Rechenbeispiele
- n
- 5
- Formel
- 5 × 4 × 3 × 2 × 1
- Ergebnis
- 120
- 0! per Definition
- 1
- 1! = 1 × 0!
- 1 × 1 = 1
Häufige Fragen zum Fakultät-Rechner
Definitionen, Anwendungen und mathematische Hintergründe
Was ist die Fakultät (n!)?
Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n (geschrieben n!) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Formal: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Beispiele: 5! = 120, 10! = 3.628.800. Sonderfälle: 0! = 1 und 1! = 1 (per Definition). Die Fakultät wächst extrem schnell: 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸.
Warum ist 0! = 1?
Die Konvention 0! = 1 ergibt sich aus mehreren mathematischen Konsistenzgründen: (1) Die Rekursionsformel n! = n × (n−1)! für n=1 liefert 1! = 1 × 0! = 1, also muss 0! = 1 sein. (2) Es gibt genau eine Möglichkeit, 0 Elemente anzuordnen (die leere Anordnung). (3) Viele Formeln in der Kombinatorik, z. B. der Binomialkoeffizient, ergeben nur mit 0! = 1 sinnvolle Werte.
Wozu wird die Fakultät verwendet?
Die Fakultät ist zentral in der Kombinatorik: Die Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Elemente anzuordnen (Permutationen), beträgt n!. Zum Beispiel können 3 Bücher auf 3! = 6 verschiedene Arten ins Regal gestellt werden. Der Binomialkoeffizient (n über k) = n! / (k! × (n−k)!) zählt, wie viele k-elementige Teilmengen eine n-elementige Menge hat. Das ist grundlegend für Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.
Warum endet die Berechnung bei 170!?
Die Grenze orientiert sich am größten Wert einer 64-Bit-Gleitkommazahl (IEEE 754 Double), ca. 1,8 × 10³⁰⁸: 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ liegt noch darunter, 171! ≈ 1,24 × 10³⁰⁹ übersteigt ihn bereits und wird als Gleitkommazahl zu Infinity. Unser Rechner rechnet intern mit exakter Ganzzahl-Arithmetik (BigInt) und begrenzt die Eingabe bei 170, damit das Ergebnis exakt und sinnvoll darstellbar bleibt.
Was ist die Stirling-Approximation?
Für sehr große n gibt die Stirling-Approximation einen guten Näherungswert: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Für n=10: 10! = 3.628.800, Stirling liefert ca. 3.598.696 (Fehler ≈ 0,8 %). Die Approximation wird mit wachsendem n genauer. Sie ist wichtig in der Thermodynamik (Entropie), Informationstheorie und für asymptotische Analysen in der Algorithmik.