Gleichungssystem-Rechner
Lineares Gleichungssystem mit 2 oder 3 Unbekannten lösen — Determinante, Lösung und Sonderfälle sofort anzeigen
- Aktualisiert
Wie viele Unbekannte?
2x + 3y = 12
1x − 1y = 1
Lösung
x = 3y = 2
- Determinante D
- -5
So wurde gerechnet
Cramer'sche Regel:
x_i = D_i / D
D = Determinante der Koeffizientenmatrix
RZ-26 · headon.pro
Die Cramer'sche Regel – Schritt für Schritt
Lineare Gleichungssysteme mit Determinanten lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Unbekannten tritt häufig in Schule, Studium und Technik auf — etwa bei Mischungsaufgaben, Bewegungsproblemen oder beim Lösen von Gleichgewichtsbedingungen in der Physik. Die Cramer'sche Regel löst solche Systeme über Determinanten: x_i = D_i / D. Dabei ist D die Determinante der Koeffizientenmatrix und D_i die Determinante, bei der die i-te Spalte durch die rechte Seite ersetzt wurde.
Der entscheidende Sonderfall ist D = 0: Hier gibt es keine eindeutige Lösung. Um zu unterscheiden, ob das System unendlich viele Lösungen hat (Geraden bzw. Ebenen fallen zusammen) oder gar keine Lösung (Geraden bzw. Ebenen sind parallel, aber verschieden), prüft man die Zähler-Determinanten Dx, Dy (und bei drei Unbekannten Dz): Sind auch diese alle 0, ist das System unterbestimmt. Ist mindestens eine davon ungleich 0, ist das System widersprüchlich.
Rechenbeispiel: 2 Unbekannte
- D = a1×b2 − a2×b1
- -5 (= 2×(−1) − 1×3)
- Dx = c1×b2 − c2×b1
- −15 (= 12×(−1) − 1×3)
- Dy = a1×c2 − a2×c1
- −10 (= 2×1 − 1×12)
- x = Dx / D
- 3 (= −15 / −5)
- y = Dy / D
- 2 (= −10 / −5)
Rechenbeispiel: 3 Unbekannte
- Determinante D
- -21
- x = Dx / D
- 5 (= −105 / −21)
- y = Dy / D
- 3 (= −63 / −21)
- z = Dz / D
- -2 (= 42 / −21)
Häufige Fragen zum Gleichungssystem-Rechner
Cramer'sche Regel, Determinanten und Sonderfälle erklärt
Was ist die Cramer'sche Regel?
Die Cramer'sche Regel löst ein lineares Gleichungssystem über Determinanten: x_i = D_i / D, wobei D die Determinante der Koeffizientenmatrix ist und D_i die Determinante, bei der die i-te Spalte durch die rechte Seite (die Konstanten) ersetzt wurde. Sie funktioniert für beliebig viele Unbekannte, ist aber vor allem für kleine Systeme (2–3 Unbekannte) praktisch, da die Determinantenberechnung mit wachsender Größe schnell aufwendiger wird.
Was bedeutet es, wenn die Determinante D = 0 ist?
Ist D = 0, gibt es keine eindeutige Lösung. Es gibt zwei Fälle: Sind zusätzlich auch alle D_i (Dx, Dy, ggf. Dz) gleich 0, ist das System unterbestimmt und hat unendlich viele Lösungen (die Geraden bzw. Ebenen fallen zusammen). Ist mindestens ein D_i ≠ 0, ist das System widersprüchlich und hat keine Lösung (die Geraden bzw. Ebenen verlaufen parallel, ohne sich zu schneiden).
Wie löse ich 2x + 3y = 12 und x − y = 1?
Koeffizientenmatrix: D = 2×(−1) − 1×3 = −2−3 = −5. Dx (erste Spalte durch Konstanten ersetzt): Dx = 12×(−1) − 1×3 = −12−3 = −15. Dy = 2×1 − 1×12 = 2−12 = −10. Damit x = Dx/D = −15/−5 = 3 und y = Dy/D = −10/−5 = 2. Probe: 2×3+3×2=12 ✓ und 3−2=1 ✓.
Funktioniert die Cramer'sche Regel auch mit 3 Unbekannten?
Ja. Bei 3 Unbekannten (x, y, z) wird mit 3×3-Determinanten gerechnet: D, Dx, Dy und Dz. Das Prinzip bleibt gleich — jede Variable ergibt sich aus x_i = D_i / D. Klassisches Beispiel: x+y+z=6, 2y+5z=−4, 2x+5y−z=27 hat die Lösung x=5, y=3, z=−2.
Wann sollte ich statt Cramer lieber das Gauß-Verfahren nutzen?
Für 2 oder 3 Unbekannte ist die Cramer'sche Regel sehr übersichtlich und schnell von Hand nachvollziehbar. Bei größeren Systemen (4 oder mehr Unbekannte) wird die Determinantenberechnung sehr aufwendig — dort ist das Gauß-Eliminationsverfahren effizienter.