Logarithmen verstehen
Von der Umkehrfunktion zur Potenz bis zum Basiswechselsatz
Der Logarithmus ist die Umkehroperation zur Potenzierung. Während die Potenz bʸ = x den Wert x aus Basis b und Exponent y berechnet, bestimmt log_b(x) = y den Exponenten y, wenn Basis b und Ergebnis x bekannt sind. Das macht den Logarithmus unverzichtbar überall dort, wo man in Skalen denkt, die sich um Zehnerpotenzen erstrecken – von Dezibel in der Akustik bis zur Richterskala bei Erdbeben.
Der dekadische Logarithmus (log₁₀, kurz lg) ist der Logarithmus zur Basis 10. Er gibt an, wie oft 10 mit sich selbst multipliziert werden muss, um x zu erhalten: log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. In der Chemie wird er für den pH-Wert verwendet: pH = −log₁₀([H₃O⁺]). Der natürliche Logarithmus(ln) zur Basis e ≈ 2,71828 ist die Stammfunktion von 1/x und fundamental für Differentialrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Thermodynamik.
Der Basiswechselsatz erlaubt die Berechnung von Logarithmen mit beliebiger Basis: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Dies bedeutet, dass jeder Taschenrechner, der ln berechnen kann, auch Logarithmen zu beliebigen Basen berechnen kann. Unser Rechner nutzt exakt diese Formel. Für log₂(8) gilt: ln(8) / ln(2) = 2,0794 / 0,6931 = 3. Korrekt, denn 2³ = 8.
Im Bereich Informatik und Algorithmik ist log₂ besonders wichtig: Die binäre Suche in einem sortierten Array von n Elementen benötigt maximal log₂(n) Vergleiche. Bei n = 1.024 Elementen genügen also 10 Vergleiche (log₂(1024) = 10). Das erklärt die enorme Effizienz von binären Suchbäumen, Heaps und ähnlichen Datenstrukturen. Der Logarithmus ist damit das mathematische Fundament für das Verständnis von Algorithmus-Komplexität.