Matrizenrechner
2x2- und 3x3-Matrizen addieren, subtrahieren, multiplizieren und Determinante sowie Inverse berechnen
- Aktualisiert
Matrix A
Matrix B
A × B (Zeile mal Spalte)
19224350
Weitere Rechnungen mit A und B
So wurde gerechnet
RZ-26 · headon.pro
Matrizenrechnung – Grundlagen
Addition, Multiplikation, Determinante und Inverse für 2x2- und 3x3-Matrizen
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, angeordnet in Zeilen und Spalten. Dieser Rechner unterstützt quadratische Matrizen der Größe 2x2 und 3x3 – der übliche Umfang im Schul- und Grundstudium-Stoff der linearen Algebra.
Bei der Addition und Subtraktion werden die Matrizen elementweise verrechnet: (A ± B)ᵢⱼ = aᵢⱼ ± bᵢⱼ. Beide Matrizen müssen dafür dieselbe Größe haben.
Die Matrizenmultiplikation folgt der Zeile-mal-Spalte-Regel: cᵢₖ = Σⱼ aᵢⱼ · bⱼₖ. Die Spaltenzahl von A muss dabei der Zeilenzahl von B entsprechen – bei zwei quadratischen Matrizen unterschiedlicher Größe (z.B. 2x2 und 3x3) ist die Multiplikation daher nicht definiert.
Die Determinante einer 2x2-Matrix berechnet sich als ad − bc. Für 3x3-Matrizen kommt die Regel von Sarrus zum Einsatz, benannt nach dem Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus. Die Determinante entscheidet, ob eine Matrix eine Inverse besitzt: Nur wenn det(A) ≠ 0 ist, existiert A⁻¹.
Rechenbeispiele
- Matrix A
- [[1,2],[3,4]]
- Matrix B
- [[5,6],[7,8]]
- A + B
- [[6,8],[10,12]]
- Formel
- a·d − b·c
- Einsetzen
- 4·8 − 3·6
- det(A)
- 14
- det(A) = 4·6 − 7·2
- 10
- Formel
- 1/det(A) · [[d,−b],[−c,a]]
- A⁻¹
- [[0.6,−0.7],[−0.2,0.4]]
Häufig gestellte Fragen zum Matrizenrechner
Addition, Multiplikation, Determinante und Inverse verständlich erklärt
Wie addiert man zwei Matrizen?
Matrizen werden elementweise addiert: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Beide Matrizen müssen dieselbe Größe haben (z.B. beide 2x2 oder beide 3x3). Beispiel: [[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].
Wie funktioniert die Matrizenmultiplikation?
Nach der Zeile-mal-Spalte-Regel wird jedes Element cᵢₖ des Produkts als Summe der Produkte aus der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B berechnet: cᵢₖ = Σⱼ aᵢⱼ · bⱼₖ. Voraussetzung: Die Spaltenzahl von A muss der Zeilenzahl von B entsprechen. Bei zwei quadratischen Matrizen gleicher Größe (z.B. beide 2x2) ist die Multiplikation immer möglich, bei unterschiedlicher Größe (z.B. 2x2 mal 3x3) nicht.
Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?
Bei einer 2x2-Matrix [[a,b],[c,d]] gilt: det(A) = a·d − b·c. Bei einer 3x3-Matrix wird die Regel von Sarrus verwendet: det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃. Die Determinante zeigt an, ob eine Matrix invertierbar ist (det ≠ 0).
Wann hat eine Matrix keine Inverse?
Eine Matrix ist genau dann nicht invertierbar (singulär), wenn ihre Determinante 0 ist. In diesem Fall existiert keine Matrix A⁻¹ mit A · A⁻¹ = Einheitsmatrix. Unser Rechner erkennt diesen Fall automatisch und zeigt einen Hinweis an.
Wie berechnet man die Inverse einer 2x2-Matrix?
Für A = [[a,b],[c,d]] gilt A⁻¹ = 1/det(A) · [[d,−b],[−c,a]]. Man vertauscht also die Hauptdiagonale, negiert die Nebendiagonale und teilt jeden Eintrag durch die Determinante ad − bc.