Quadratische Gleichung
ax² + bx + c = 0 lösen – Diskriminante, eine oder zwei reelle Lösungen sofort anzeigen
- Aktualisiert
x² − 5x + 6 = 0
Darf nicht 0 sein
Zwei Lösungen
3 und 2
3 und 2x² − 5x + 6 = 0 hat die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = 2.
So wurde gerechnet
Mitternachtsformel: Ist die Diskriminante D positiv, gibt es zwei Lösungen – die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
- Diskriminante D
- 1
- Scheitelpunkt
- S(2,5 | -0,25)
RZ-26 · headon.pro
Die Mitternachtsformel – Schritt für Schritt
Quadratische Gleichungen verstehen und sicher lösen
Die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 ist eine der meistgefragten Themen in der Schulmathematik. Sie tritt auf, wenn Parabeln die x-Achse schneiden, bei Optimierungsproblemen (Minimum/Maximum einer quadratischen Funktion), in der Physik (Wurf, Hebelgesetze) und in der Ingenieurmathematik. Die Mitternachtsformel x = (−b ± √D) / (2a) liefert immer das Ergebnis – sofern die Diskriminante D nicht negativ ist.
Die Diskriminante D = b² − 4ac ist der entscheidende Wert. Sie steht unter der Wurzel und bestimmt, ob die Gleichung zwei (D > 0), eine (D = 0) oder keine reelle Lösung (D < 0) hat. Bei D < 0 wäre die Wurzel aus einer negativen Zahl nötig, was im reellen Zahlenraum unmöglich ist. Die zugehörige Parabel f(x) = ax² + bx + c schneidet die x-Achse dann nicht.
Für einfache Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen ist auch die Faktorisierungsmethode effizient: Bei x² − 5x + 6 = 0 sucht man zwei Zahlen mit Summe −5 und Produkt +6. Das sind −3 und −2, also (x − 3)(x − 2) = 0 → x = 3 oder x = 2. Diese Methode funktioniert ohne Rechner, aber nur wenn ganzzahlige Lösungen vorliegen. Die Mitternachtsformel funktioniert immer – auch für irrationale Lösungen wie x = (1 + √5) / 2 (Goldener Schnitt).
In der Praxis begegnen quadratische Gleichungen bei Bewegungsaufgaben (s = v₀t + ½at² nach t auflösen), Flächenoptimierung (maximale Fläche eines Rechtecks mit gegebenem Umfang) und Kreisgeometrie. Unser Rechner löst ax² + bx + c = 0 für beliebige reelle Koeffizienten a, b, c und zeigt die Diskriminante sowie alle reellen Lösungen mit sechs Dezimalstellen Genauigkeit an.
Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0
- Koeffizienten
- a = 1, b = −5, c = 6
- D = b² − 4ac
- (−5)² − 4×1×6
- D = 25 − 24
- 1
- x₁ = (−b + √D) / (2a) = (5 + 1) / 2
- 3
- x₂ = (−b − √D) / (2a) = (5 − 1) / 2
- 2
Häufige Fragen zur quadratischen Gleichung
Mitternachtsformel, Diskriminante und Lösungsstrategien
Was ist die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel) löst jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0: x₁₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Das Pluszeichen liefert x₁, das Minuszeichen x₂. Die Formel wird „Mitternachtsformel" genannt, weil man sie nachts um Mitternacht kennen soll. Voraussetzung: a ≠ 0 (sonst ist die Gleichung linear, nicht quadratisch).
Was ist die Diskriminante und was sagt sie aus?
Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet über die Anzahl der reellen Lösungen: D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen (x₁ ≠ x₂). D = 0: genau eine Lösung (Doppellösung, x₁ = x₂ = −b/(2a)). D < 0: keine reelle Lösung (die Parabel schneidet die x-Achse nicht). Die Diskriminante ist das erste, was man bei einer quadratischen Gleichung prüfen sollte.
Wie löse ich x² − 5x + 6 = 0?
Koeffizienten: a=1, b=−5, c=6. Diskriminante: D = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1. Da D = 1 > 0 gibt es zwei Lösungen: x₁ = (5 + √1) / 2 = (5+1)/2 = 3 und x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Probe: (x−3)(x−2) = x² − 5x + 6 ✓. Die Lösungen sind x₁ = 3 und x₂ = 2.
Was bedeutet eine Doppellösung bei der quadratischen Gleichung?
Eine Doppellösung liegt vor, wenn die Diskriminante D = 0 ist. In diesem Fall berührt die zugehörige Parabel die x-Achse nur an einem Punkt (Tangentenpunkt) statt sie zu schneiden. Die Formel vereinfacht sich zu x = −b / (2a). Beispiel: x² − 2x + 1 = 0 hat D = 4 − 4 = 0, also Doppellösung x = 1 (Parabel y = (x−1)² berührt die x-Achse bei x=1).
Wie löst man quadratische Gleichungen ohne Taschenrechner?
Für „schöne" Lösungen kann man die Gleichung faktorisieren: Welche zwei Zahlen ergeben addiert den Koeffizienten b und multipliziert den Koeffizienten c? Bei x² − 5x + 6: Gesucht sind Zahlen mit Summe −5 und Produkt 6: Das sind −3 und −2. Also (x−3)(x−2) = 0 → x=3 oder x=2. Für komplizierte Koeffizienten ist die Mitternachtsformel effizienter.