Vektorrechnung – Grundlagen
Addition, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag und Winkel für 2D- und 3D-Vektoren
Ein Vektor beschreibt eine Größe mit Betrag und Richtung, dargestellt als Tupel von Komponenten – z.B. (x, y) im 2D-Raum oder (x, y, z) im 3D-Raum. Dieser Rechner unterstützt beide Fälle.
Bei der Addition und Subtraktion werden die Komponenten einzeln verrechnet: a⃗ ± b⃗ = (a₁±b₁, a₂±b₂, a₃±b₃).
Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ liefert eine Zahl und wird zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren genutzt: cos(φ) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|). Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ hingegen liefert einen neuen Vektor senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren – es ist ausschließlich im 3D-Raum definiert.
Der Betrag (die Länge) eines Vektors berechnet sich als Wurzel der Summe der quadrierten Komponenten: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) – eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras.