Vektorrechner
2D- und 3D-Vektoren addieren, subtrahieren und Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag sowie Winkel berechnen
- Aktualisiert
Vektor a
Vektor b
Skalarprodukt a · b
32
32Weitere Rechnungen mit a und b
So wurde gerechnet
RZ-26 · headon.pro
Vektorrechnung – Grundlagen
Addition, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag und Winkel für 2D- und 3D-Vektoren
Ein Vektor beschreibt eine Größe mit Betrag und Richtung, dargestellt als Tupel von Komponenten – z.B. (x, y) im 2D-Raum oder (x, y, z) im 3D-Raum. Dieser Rechner unterstützt beide Fälle.
Bei der Addition und Subtraktion werden die Komponenten einzeln verrechnet: a⃗ ± b⃗ = (a₁±b₁, a₂±b₂, a₃±b₃).
Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ liefert eine Zahl und wird zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren genutzt: cos(φ) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|). Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ hingegen liefert einen neuen Vektor senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren – es ist ausschließlich im 3D-Raum definiert.
Der Betrag (die Länge) eines Vektors berechnet sich als Wurzel der Summe der quadrierten Komponenten: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) – eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras.
Rechenbeispiele
- Formel
- a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- Einsetzen
- 1·4 + 2·5 + 3·6
- a · b
- 32
- Formel
- (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)
- Einsetzen
- (3·7−4·6, 4·5−2·7, 2·6−3·5)
- a × b
- (−3, 6, −3)
- a · b
- 0
- cos(φ) = (a·b)/(|a|·|b|)
- 0 / (1·1) = 0
- φ = arccos(0)
- 90°
Häufig gestellte Fragen zum Vektorrechner
Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel und Betrag verständlich erklärt
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt) zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃ im 3D-Raum). Das Ergebnis ist eine Zahl (Skalar), kein Vektor. Beispiel: (1,2,3) · (4,5,6) = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32.
Was ist das Kreuzprodukt und wann ist es definiert?
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ist nur für 3D-Vektoren definiert und liefert wieder einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht: a⃗ × b⃗ = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁). Für 2D-Vektoren existiert kein Kreuzprodukt in diesem Sinne.
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Über die Umstellung der geometrischen Definition des Skalarprodukts: cos(φ) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|), also φ = arccos((a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|)). Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt 0 und der Winkel 90°.
Wie berechnet man den Betrag (die Länge) eines Vektors?
Der Betrag ergibt sich aus der Wurzel der Summe der quadrierten Komponenten: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) im 3D-Raum bzw. |a⃗| = √(a₁² + a₂²) im 2D-Raum. Dies ist eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras.
Können Vektoren unterschiedlicher Dimension verrechnet werden?
Nein. Addition, Subtraktion, Skalarprodukt und Winkelberechnung erfordern, dass beide Vektoren dieselbe Dimension haben (beide 2D oder beide 3D). Das Kreuzprodukt ist zusätzlich ausschließlich für 3D-Vektoren definiert. Unser Rechner zeigt in diesen Fällen eine klare Fehlermeldung an.