Wurzelrechner
Quadratwurzel (√), Kubikwurzel und beliebige n-te Wurzeln online berechnen
- Aktualisiert
2 = Quadratwurzel, 3 = Kubikwurzel
√144
12
12Die Quadratwurzel aus 144 ist 12.
So wurde gerechnet
Die n-te Wurzel ist die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert wieder die Ausgangszahl ergibt. Anschaulich: Die Quadratwurzel einer Fläche ist die Seite des passenden Quadrats.
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Wurzeln – Grundlagen und Formeln
Quadratwurzel, Kubikwurzel und n-te Wurzel verständlich erklärt
Das Wurzelziehen ist eine der grundlegenden mathematischen Operationen. Die Quadratwurzel √x findet die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Diese Operation taucht überall auf: im Satz des Pythagoras (c = √(a² + b²)), bei der Standardabweichung in der Statistik, in physikalischen Formeln und beim Berechnen von Seitenlängen geometrischer Figuren aus ihren Flächen.
Die n-te Wurzel verallgemeinert die Quadratwurzel: ⁿ√x = x^(1/n). Die Kubikwurzel (Grad 3) wird beispielsweise benötigt, um die Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen zu bestimmen: Wenn V = a³, dann a = ³√V. Aus einem Würfel mit Volumen 27 cm³ folgt die Kantenlänge ³√27 = 3 cm. Vierte Wurzeln (Grad 4) spielen in der Wärmelehre (Stefan-Boltzmann-Gesetz) und in der Signalverarbeitung eine Rolle.
Eine wichtige Einschränkung: Im reellen Zahlenraum können gerade Wurzeln (Grad 2, 4, 6 …) nicht aus negativen Zahlen gezogen werden. Die Lösung wäre eine komplexe Zahl, die im Alltag kaum benötigt wird. Bei ungeraden Graden (3, 5, 7 …) ist dagegen auch die Wurzel aus einer negativen Zahl reell: ³√(−27) = −3, denn (−3)³ = −27. Unser Rechner gibt bei unzulässigen Eingaben eine klare Fehlermeldung aus.
Für Schüler sind Wurzelrechnungen in der Unter- und Mittelstufe ein zentrales Thema. Besonders häufig gefragt: √144 = 12 (Referenzwert für 12 × 12 = 144), √169 = 13, √225 = 15. Diese Werte sollte man aus dem Stegreif kennen, da sie in Prüfungen und im Alltag (z. B. Flächenberechnungen) regelmäßig auftreten. Mit unserem Rechner lassen sich nicht nur ganzzahlige, sondern auch gebrochene Radikanden und Wurzelgrade schnell prüfen.
Rechenbeispiele
- Radikand
- 144
- Wurzelgrad
- 2 (Quadratwurzel)
- Formel
- 144^(1/2)
- Ergebnis
- 12
- Radikand
- 27
- Wurzelgrad
- 3 (Kubikwurzel)
- Formel
- 27^(1/3)
- Ergebnis
- 3
Häufige Fragen zum Wurzelrechner
Formeln, Beispiele und Tipps zum Wurzelziehen
Wie berechnet man eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel einer Zahl x (geschrieben √x oder x^½) ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. √144 = 12, weil 12 × 12 = 144. Für nicht-ganzzahlige Ergebnisse (z. B. √2 ≈ 1,41421) gibt unser Rechner eine Dezimalzahl mit bis zu 6 Stellen aus. Technisch berechnet JavaScript √x mit Math.sqrt(x).
Was ist eine n-te Wurzel?
Die n-te Wurzel einer Zahl x ist der Wert y, für den gilt: yⁿ = x. Die Quadratwurzel (n=2) ist der Spezialfall. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel, n=3) aus 27 ist 3, weil 3³ = 27. Allgemein gilt: ⁿ√x = x^(1/n). In unserem Rechner können Sie den Grad n frei wählen.
Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
Für gerade Wurzelgrade (2, 4, 6, …) sind Wurzeln aus negativen Zahlen im reellen Zahlenraum nicht definiert. √(−4) ergibt keine reelle Zahl, da keine reelle Zahl mal sich selbst −4 ergibt. Für ungerade Wurzelgrade (3, 5, 7, …) gibt es dagegen eine reelle Lösung: ³√(−8) = −2, weil (−2)³ = −8. Unser Rechner behandelt beide Fälle korrekt.
Was ist der Unterschied zwischen Quadratwurzel und Kubikwurzel?
Die Quadratwurzel (Grad 2) findet die Zahl, die quadriert den Radikanden ergibt: √x = x^(1/2). Die Kubikwurzel (Grad 3) findet die Zahl, die kubiert den Radikanden ergibt: ³√x = x^(1/3). Typische Anwendungsfälle: Quadratwurzeln im Satz des Pythagoras und bei Flächen, Kubikwurzeln bei Volumenberechnungen (z. B. Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen).
Wie hängen Wurzel und Potenz zusammen?
Wurzelziehen und Potenzieren sind inverse Operationen: Die n-te Wurzel aus x entspricht x hoch 1/n. Daher gilt ⁿ√(xⁿ) = x für positive Zahlen. Diese Beziehung ist wichtig in der Algebra und Analysis: Sie erlaubt es, Wurzeln mit Potenzregeln umzuformen. Unser Wurzelrechner nutzt intern Math.pow(x, 1/n), was exakt dieser Formel entspricht.